백준 17526번 Star Trek

문제 요약

직선상에 왼쪽부터 순서대로 1번부터 N번까지의 점이 있다. 1번 점에서 출반해서 N번 점까지 도착을 하는 것이 목적이다. 각 점 사이의 거리가 주어진다.

이 때, 각 점에서 사용할 수 있는 이동 수단이 있는데 각 이동 수단의 대기 시간과 거리를 1만큼 움직이는 데에 걸리는 시간이 각각 $p_i, s_i$가 주어진다.

이 때, 1번부터 N까지 가는 데에 걸리는 최소 시간을 구하여라.

풀이

다음과 같은 dp식을 유도해볼 수 있다.
$$
\begin{aligned}
dp(i) &= \text{1번부터 i번까지 가는 데에 걸리는 최소 시간} \\
dp(i) &= \underset{j<i}{min}(dp(j)+p_j+(d_i - d_j)*s_j)
\end{aligned}
$$
$d_i$는 1번부터 i번 까지의 거리를 뜻한다. 이 값을 prefix sum으로 쉽게 구할 수 있다.

$dp(N)$이 문제에서 원하는 값이 되는데 이를 구하기 위해서 나이브하게 계산하면 $O(N^2)$이 걸린다.

Convex Hull Trick을 사용하면 $O(NlogN)$으로 구할 수 있다. 기울기는 $s_j$로 보고 $x$값을 $d_i$로 보면 된다.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
struct Line {
    mutable ll k, m, p;    // kx + m
    bool operator<(const Line& o) const { 
        return k < o.k; 
    }
    bool operator<(ll x) const { return p < x; }
};

struct LineContainer : multiset<Line, less<>> {
    // (for doubles, use inf = 1/.0, div(a,b) = a/b)
    const ll inf = LLONG_MAX;
    ll div(ll a, ll b) { // floored division
        return a / b - ((a ^ b) < 0 && a % b);
    }
    bool isect(iterator x, iterator y) {
        if (y == end()) { x->p = inf; return false; }
        if (x->k == y->k) x->p = x->m > y->m ? inf : -inf;
        else x->p = div(y->m - x->m, x->k - y->k);
        return x->p >= y->p;
    }
    void add(ll k, ll m) {
        auto z = insert({ k, m, 0 }), y = z++, x = y;
        while (isect(y, z)) z = erase(z);
        if (x != begin() && isect(--x, y)) isect(x, y = erase(y));
        while ((y = x) != begin() && (--x)->p >= y->p)
            isect(x, erase(y));
    }
    ll query(ll x) {
        assert(!empty());
        auto l = *lower_bound(x);
        return l.k * x + l.m;
    }
};
int N;
ll dist[100005];
ll wait[100005], velo[100005];
ll ans[100005];

ll bias(int idx) {
    return ans[idx] + wait[idx] - dist[idx] * velo[idx];
}

int main() {
    cin.tie(nullptr); ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> N;
    for (int i = 2; i <= N; ++i) {
        ll x; cin >> x; dist[i] = dist[i - 1] + x;
    }
    for (int i = 1; i < N; ++i) cin >> wait[i] >> velo[i];
    ans[1] = 0;
    LineContainer lines;
    lines.add(-velo[1], -bias(1));
    for (int i = 2; i <= N; ++i) {
        ll x = lines.query(dist[i]);
        ans[i] = -x;
        lines.add(-velo[i], -bias(i));
    }
    cout << ans[N] << '\n';
    return 0;
}